cực trị hàm số

Dạng bài tập tìm m đề hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước là một dạng bài xuất hiện nhiều trong các bài thi tốt nghiệp Toán THPT những năm gần đây và cũng là một trong những dạng bài trọng tâm trong chuyên đề cực trị hàm số.

Phương pháp làm dạng bài tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn

Để làm được dạng bài tìm m để hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước, các bạn cần tuân thủ theo 2 bước sau:

Bước 1: Tính f^’ (x₀) = 0 để xác định đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x₀ từ đó tìm được tham số.

Bước 2: Từ tham số tìm được, ta thế ngược lại vào hàm số ban đầu, sau đó tìm m theo điều kiện mà bài tập đã cung cấp

Dạng 1: Tìm m để hàm số có 3 cực trị

Phương pháp giải bài tập

Đối với hàm bậc ba, ta có thể là như sau đối với các dạng câu hỏi trắc nghiệm:

– Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = x₀ ⇔ Đồng thời thỏa mãn 2 điều kiện: f'(x₀) = 0 và f”(x₀) > 0

– Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = x₀ ⇔ Đồng thời thỏa mãn 2 điều kiện: f'(x₀) = 0 và f”(x₀) < 0

Bài tập mẫu dạng tìm m để hàm số có 3 cực trị

Dạng 2: Tìm m để hàm bậc 4 trùng phương có cực trị thỏa mã điều kiện

Phương pháp giải bài tập

Xét hàm số có dạng y = ax⁴ + bx² + c, (a ≠ 0) => Ta tính được đạo hàm của y là

y’ = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b)

– Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ thỏa mãn điều kiện: y’ = 0 có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ab ≥ 0.

– Đồ thị hàm số y có đúng một điểm cực trị hay có ba điểm cực trị, bên cạnh đó, ta có thể thấy luôn có một điểm cực trị nằm trên trục tung.

Khi hàm số có 3 cực trị, ta xét các trường hợp sau

– Nếu điều kiện a > 0 hàm số sẽ có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại;

– Nếu điều kiện a < 0 hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Lưu ý: Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn luôn tạo thành một tam giác cân

Trong trường hợp hàm số chỉ có 1 điểm cực trị. Ta xét các trường hợp:

– Với điều kiện a > 0 => Đồ thị có 1 điểm cực tiểu

– Với điều kiện a < 0 => Đồ thị có 1 điểm cực đại

Đối với đồ thị hàm số trị tuyệt đối dạng:

• y = |ax⁴ + bx² + c| là dạng đồ thị có nhiều điểm cực trị nhất (tối đa lên tới 7 điểm cực trị), khi đó đồ thị hàm số f(x) = ax⁴ + bx² + c có ba điểm cực trị và đồ thị này cắt trục hoành (trục Oy) tại bốn điểm phân biệt.
• Đồ thị hàm số y = |ax⁴ + bx² + c| có đúng 1 điểm cực trị khi đồ thị hàm số dạng y = f(x) = ax⁴ + bx² + c chỉ có 1 điểm cực trị và đồ thị không có điểm chung hoặc đồ thị chỉ tiếp xúc với trục hoành.

Bài tập mẫu dạng tìm m để hàm bậc 4 trùng phương có cực trị thỏa mã điều kiện

Dạng 3. Tìm m để hàm phân thức có cực trị thỏa mãn

Phương pháp giải bài tập

Xét hàm số . Ta có đạo hàm của hàm số có dạng .

Gọi điểm M (x₀; y₀) là điểm cực trị của hàm số. Khi đó y’(x₀) = 0.

Suy ra u’(x₀). v (x₀) – v’(x₀). u(x₀) = 0 ⇒ .

Vậy ta có thể suy ra được đường cong qua các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số là .

Kiến thức bổ sung:

Đường thẳng đi qua các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số là .

Lưu ý:

Đối với hàm số dạng cách tính đạo hàm của hàm này như sau:

= =

Bài tập mẫu dạng tìm m để hàm phân thức có cực trị thỏa mãn

Trên đây là những kiến thức cơ bản Dạng bài tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn mà các bạn cần nắm trong quá trình học và ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán. Thông qua bài viết, onthidgnl hy vọng các bạn sẽ có thêm kiến thức và đạt được điểm cao trong kỳ thi sắp tới!

Theo dõi MXH của Onthidgnl để update nhiều tài liệu miễn phí nhé:

FB: https://www.facebook.com/onthidgnlcom

Group: https://www.facebook.com/groups/2k7onthidgnl

Threads: https://www.threads.net/@onthidgnl2k7

Cực trị hàm số được đánh giá là một trong những chuyên đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán trong hầu hết các năm vừa qua. Trong cấu trúc đề thi Toán tốt nghiệp THPT, chuyên đề này có có tới 4 câu hỏi và có độ khó trải dài cấp độ nhận biết, vận dụng và vận dụng cao. Chính vì vậy, việc ôn tập kiến thức phần cực trị hàm số là rất quan trọng và cần thực sự lưu ý trong quá trình ôn thi. Onthidgnl xin chia sẻ cho các bạn hệ thống kiến thức về cực trị hàm số và các dạng bài thường gặp để các bạn có cái nhìn tổng quan và bao quát nhất về chuyên đề này.

Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử ta có hàm số f xác định trên tập D với điều kiện (D ⊂ ℝ) và x_o∈ D

a) x_o gọi là điểm cực đại của hàm số f trong trường hợp tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x_o thỏa mãn điều kiện

Khi đó ta có f(x_o) là giá trị cực đại của hàm số f trên tập D

b) x_o gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f trong trường hợp tồn tại một khoảng (a; b) có chứa chứa điểm x_o thỏa mãn điều kiện:

Khi đó ta có f(x_o) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f trên tập D

Giá trị của điểm cực tiểu và điểm cực đại ta có khái niệm chung là cực trị

Điểm x_o là một điểm cực trị của hàm số f thì ta có hàm số f sẽ đạt cực trị tại điểm x_o .

Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm thuộc tập hợp D (D ⊂ ℝ)

Nhấn mạnh: x_o ∈ (a; b) ⊂ D nghĩa là x_o là một điểm trong của D

Chú ý

• Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x_o) nói chung chưa chắc là Giá trị lớn nhất (Giá trị nhỏ nhất) của f trên tập hợp D nên ta không thể khẳng định cực đại và cực tiểu là GTLN và GTNN của hàm số
• Hàm số có thể có nhiều điểm đạt cực đại hoặc cực tiểu trên tâp hợp D. Và cũng có trường hợp hàm số không có điểm cực trị trên tập xác định D.
• x_o là điểm cực trị của hàm số f thì tại điểm (x_o ; f(x_o)) ta gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x).

Những điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số f có điểm cực trị x_o. Khi đó , nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x_o thì f ‘(x_o) = 0 (đạo hàm của hàm số f tại điểm x_o bằng 0)

Chú ý:

• Đạo hàm f ‘ có thể bằng 0 tại điểm x_o nhưng hàm số f lại không đạt cực trị tại điểm x_o.
• Hàm số có điểm cực trị nhưng không có đạo hàm tại điểm đó
• Hàm số chỉ có thể có cực trị tại những điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0 tại điểm đó , hoặc có trường hợp hàm số không có đạo hàm tại đó.
• Hàm số đạt cực trị tại x_o và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x_o ; f(x_o)) thì tiếp tuyến tại điểm đó song song với trục hoành (Oy)

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x³

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) có chứa điểm x_o và hàm số có đạo hàm trên các khoảng (a; x_o) và (x_o; b). Khi đó ta có:

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x_o ; f ‘(x_o) = 0 và f có đạo hàm tại điểm x_o cấp hai khác 0

a) Nếu đạo hàm cấp 2 của f= f ”(x_o) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_o
b) Nếu đạo hàm cấp 2 của f= f ”(x_o) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x_o

Lưu ý:

Ta không cần phải xét hàm số f có đạo hàm hay không tại điểm x = x_o nhưng ta phải xét điều kiện hàm số liên tục tại điểm x_o

Các dạng bài tập tìm cực trị của hàm số

Dạng 1: Xác định các điểm cực trị của hàm số

Quy tắc 1: Sử dụng định lý 2 mình đã đề cập ở trên

• Bước 1: Xác định f ‘(x)
• Bước 2: Xác định các điểm i (i = 1, 2, 3,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc xét trường hợp hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm
• Bước 3: Xác định dấu của f ‘(x). Nếu f ‘(x) đổi dấu tại điểm x_o thì hàm số có cực trị tại điểm x_o

Quy tắc 2: Sử dụng định lý 3

• Bước 1: Xác định f ‘(x)
• Bước 2: Tìm các nghiệm x_i (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0
• Bước 3: Với mỗi giá trị x_i ta tính f ”(x_i)

– Nếu f ”(x_i) < 0 thì đạt cực đại tại điểm x_i

– Nếu f ”(x_i) > 0 thì đạt cực tiểu tại điểm x_i

 

Dạng 2: Xác định điều kiện để hàm số đạt cực trị

Phương pháp: Ta kết hợp định lý 2 và 3

Lưu ý

* Hàm số f (xác định trên tập xác định D) có cực trị ⇔ ∃ x_o ∈ D thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:

• Đạo hàm của hàm số tại điểm x_o phải triệt tiêu hoặc không có đạo hàm tại điểm x_o
• f ‘(x) phải thỏa mãn điều kiện đổi dấu khi qua điểm x_o hoặc f ”(x_o) ≠ 0

* Nếu f ‘(x) là một tam thức bậc hai hoặc triệt tiêu cũng như cùng dấu với một tam thức bậc hai thì hàm có cực trị ⇔ phương trình f ‘(x) có hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định D.

 

Dạng 3: Tìm điều kiện của hàm số đề các điểm cực trị thỏa mãn các điều kiện đã cho

Phương pháp:

• Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
• Bước 2: Biểu diễn điều kiện của hàm số thông qua các tọa độ của điểm cực trị từ đó ta tìm được điều kiện của các tham số.

Chú ý:

• Trong trường hợp ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta áp dụng định lí Vi-ét trong dạng bài này.
• Trong quá trình tính giá trị cực trị của hàm số qua các điểm cực trị ta có thể sử dụng các kết quả sau:

Dạng 4 : Ứng dụng của cực trị khi làm các bài tập đại số

Trên đây là kiến thức và một số dạng bài tập thường gặp trong chuyên đề về kiến thức cực trị của hàm số; hy vọng rằng bài viết sẽ giúp các bạn có thể nắm chắc về chuyên đề này cũng như có định hướng và phản xạ khi gặp những dạng bài liên quan tới cực trị hàm số. Chúc các bạn có kết quả tốt trong kỳ thi tốt nghiệp THPT sắp tới.

Theo dõi MXH của Onthidgnl để update nhiều tài liệu miễn phí nhé:

FB: https://www.facebook.com/onthidgnlcom

Group: https://www.facebook.com/groups/2k7onthidgnl

Threads: https://www.threads.net/@onthidgnl2k7

Cực trị hàm số hàm phân thức, lượng giác vô tỉ và hàm bậc cao là dạng bài nằm trong chuyên đề Cực trị hàm số trong chương trình Toán 12. Mặc dù có phương pháp giải đơn giản nhưng lại phức tạp trong cách triển khai cũng như tính toán khiến rất nhiều bạn học sinh bị mất điểm một cách đáng tiếc. Onthidgnl.com xin chia sẻ cách làm nhanh bài xác định cực trị của hàm trị tuyệt đối dành cho các bạn đang trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán. Hãy cùng tìm hiểu!

Dạng bài cực trị hàm số hàm phân thức, lượng giác vô tỉ và hàm bậc cao

1. Phương pháp giải chung

Như đã nói ở trên, về phương hướng giải của dạng này rất đơn giản, các bạn chỉ cần áp dụng đúng các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho

Bước 2: Đạo hàm của hàm số f^’_(x). Tìm các điểm mà tại đó f^’_(x) = 0 hoặc f_(x) không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. Từ bảng biến thiên đó suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Bước 4: Xác định điểm cực đại và cực tiểu của hàm số theo điều kiện:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = x₀ ⇔ Đồng thời thỏa mãn 2 điều kiện:

• f'(x₀) = 0
• f”(x₀) > 0

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = x₀ ⇔ Đồng thời thỏa mãn 2 điều kiện:

• f'(x₀) = 0
• f”(x₀) < 0

2. Các câu hỏi ôn tập cực trị hàm số hàm phân thức, lượng giác vô tỉ và hàm bậc cao

Trên đây là hướng dẫn cực trị hàm số hàm phân thức, lượng giác vô tỉ và hàm bậc cao; hy vọng bài viết trên sẽ giúp các bạn trang bị thêm kiến thức phục vụ trong quá trình học cũng như ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán trong thời gian sắp tới.

Theo dõi MXH của Onthidgnl để update nhiều tài liệu miễn phí nhé:

FB: https://www.facebook.com/onthidgnlcom

Group: https://www.facebook.com/groups/2k7onthidgnl

Threads: https://www.threads.net/@onthidgnl2k7

Cực trị hàm trị tuyệt đối là dạng bài tương đối dễ nằm trong chuyên đề Cực trị hàm số trong chương trình Toán 12. Onthidgnl.com xin chia sẻ cách làm nhanh bài xác định cực trị của hàm trị tuyệt đối dành cho các bạn đang trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán. Hãy cùng tìm hiểu

A. Cách làm bài cực trị hàm trị tuyệt đối 

1. Hàm trị tuyệt đối là gì?

Hàm trị tuyệt đối đúng như tên gọi là những hàm số có chứa trị tuyệt đối. Hàm trị tuyệt đồi thông thường có 2 dạng là

• y = |f(x)|
• y = f(|x|)

2. Cách làm bài cực trị của hàm trị tuyệt đối

a. Đối với hàm số y = |f(x)|

Để có thể tìm cực trị của hàm số có dạng: y = |f(x)|, việc đầu tiên ta ta cần làm là lập bảng bảng thiên và vẽ đồ thị hàm số y = |f(x)|.

Để có thể vẽ đồ thị của hàm y = |f(x)|, ta có thể dựa trên từ việc vẽ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm y = f(x) .

Lưu ý:

– Đối với đồ thị hàm số y = |f(x)| bao gồm 2 phần:

+ Phần đồ thị y = f(x) nằm trên trục hoành (trục Ox)

+ Phần đồ thị lấy đối xứng với y = f(x) nằm dưới trục Ox qua trục Ox của đồ thị

b. Đối với hàm số y = f(|x|)

Để tìm cực trị của hàm trị tuyệt đối dạng y = f(|x|) ta cần lập bảng thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số y = f(|x|) thông qua việc xác định của bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm y = f(x) .

Lưu ý:

• Đồ thị hàm số trị tuyệt đối dạng y = f(|x|) bao gồm 2 phần chính:

+ Phần đồ thị có dạng y = f(x) nằm bên phải trục tung (trục Oy) (gọi đây là C)

+ Phần đồ thị lấy đối xứng (C) qua Oy

B. Số cực trị của hàm trị tuyệt đối

a. Đối với hàm số y = |f(x)|

Số điểm cực trị của hàm số trị tuyệt đối dạng y = |f(x)| bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y = f(x) cùng với số nghiệm bội lẻ của phương trình y = f(x) = 0

b. Đối với hàm số y = f(|x|)

Số điểm cực trị của hàm số trị tuyệt đối có dạng y = f(|x|) gấp đôi số điểm cực trị dương của hàm số có dạng y = f(x) cộng với 1.

C. Các dạng bài cực trị hàm trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Cho hàm số có dạng y = f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Xác định hàm trị tuyệt đối y = f(|x|) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Lời giải

Đáp án C: 5 điểm cực trị

Đồ thị (C’) của hàm số y = f(|x|) sẽ có dạng

+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục tung của(C) ta được (C₁)

+ Vẽ đối xứng qua trục tung phần đồ thị của (C₁) ta được đồ thị (C₂)

+ Khi đó đồ thì của hàm y = f(|x|) là giao của (C₁)(C₂). Đồ thị có dạng hình vẽ dưới đây:

Từ đồ thị (C’) ta có thể rút ra kết luận hàm y = f(|x|) có tổng cộng 5 điểm cực trị.

Hoặc ta có thể dùng cách giải nhanh như sau: Nhìn đồ thị (C) ta có thể thấy đồ thị có 2 điểm cực trị dương => Số điểm cực trị của hàm y = f(|x|) = 2×2+1 = 5 điểm

Ví dụ 2: Cho hàm số có dạng y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Xác định hàm số y = |f(x)| có tổng cộng bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5.

B. 6.

C. 3.

D. 7.

Lời giải

Đáp án D: 7 điểm cực trị

Ta có đồ thị hàm y = |f(x)| gồm 2 phần.

+ Phần đồ thị y = f(x) nằm trên trục Ox

+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục Ox.

Đồ thị hàm số y = f(x) giao với trục Ox tại 4 điểm có hoành độ lần lượt là x₁; x₂; x₃; x₄

Vậy ta có bảng biến thiên của đồ thị y = |f(x)| như sau

Từ bảng biến thiên ta có thể suy ra đồ thị y = |f(x)| có tổng cộng 7 điểm cực trị.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = |(x – 1)(x – 2)²|. Xác định số điểm cực trị của hàm trên?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Đáp án C: 3 điểm cực trị

Bên cạnh đó ta thấy: f(x) = (x – 1)(x – 2)² = 0 có 1 nghiệm đơn là x = 1

Ta có số điểm cực trị của hàm trị tuyệt đối y = |(x – 1)(x – 2)²| là số điểm cực trị của hàm số f(x) = (x – 1)(x – 2)² cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0.

Vậy số điểm cực trị của hàm số y = |(x – 1)(x – 2)²| = 2 + 1 = 3 điểm cực trị

Bài tập tìm điểm cực trị hàm trị tuyệt đối có giải chi tiết

Trên đây là toàn bộ kiến thức về dạng bài cực trị hàm trị tuyệt đối. Hy vọng với bài viết trên các bạn sẽ thành thạo được dạng bài này vào áp dụng thật tốt trong quá trình ôn tập và làm bài thi.

Theo dõi MXH của Onthidgnl để update nhiều tài liệu miễn phí nhé:

FB: https://www.facebook.com/onthidgnlcom

Group: https://www.facebook.com/groups/2k7onthidgnl

Threads: https://www.threads.net/@onthidgnl2k7

Cực trị hàm bậc ba là một chủ đề quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong giải tích và đại số. Việc tìm hiểu về cực trị giúp chúng ta xác định các điểm tối ưu của một hàm số, từ đó ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật và khoa học. Hàm bậc ba, với dạng tổng quát ax^3 + bx^2 + cx + d ( với a khác 0), có thể có từ 1 đến 2 cực trị, tùy thuộc vào hệ số của nó. Cùng tham khảo lý thuyết và bài tập Cực trị hàm bậc ba dưới đây nhé!

Lý thuyết và ví dụ Cực trị hàm bậc ba

Lý thuyết:

Cực trị của hàm số: y = ax³ + bx² + cx + d ( a ≠ 0) là nghiệm của phương trình y ‘ = 0

– Xét phương trình y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0

– Hàm số có 2 điểm cực trị khi Δ > 0

– Hàm số không có cực trị khi Δ ≤ 0

– Hai nghiệm x1, x2, của phương trình y’ = 0 là hoành độ các điểm cực trị của Đồ Thị Hàm Số Bậc 3

– Khi ta thực hiện phép chia y / y’. Phần dư của phép chia được sử dụng để viết phương trình đường qua 2 điểm cực trị.

Ví dụ

Bài tập Cực trị hàm bậc ba có giải chi tiết

Bài tập

Giải chi tiết

Lưu file PDF: https://drive.google.com/file/d/1NP-_5pip8xLLH1SzK__G7f3XlnR9LxQJ/view?usp=sharing

Các bạn có thể tham khảo thêm:

Cực trị của hàm số và các dạng bài tham khảo

Hy vọng với chia sẻ về Xác định cực trị theo đạo hàm cấp hai ở trên sẽ giúp các em ôn tập Toán THPT, ĐGNL thật tốt. Theo dõi MXH của Onthidgnl để update nhiều tài liệu miễn phí nhé:

FB: https://www.facebook.com/onthidgnlcom

Group: https://www.facebook.com/groups/2k7onthidgnl

Threads: https://www.threads.net/@onthidgnl2k7

Xác định cực trị hàm trùng phương là một trong những vấn đề cơ bản và quan trọng trong toán học, đặc biệt trong giải tích. Hàm trùng phương thường có dạng f(x) = ax^4 + bx^2 + c, với a khác 0. Để tìm được cực trị của hàm này, chúng ta cần sử dụng đạo hàm để xác định các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Việc xác định cực trị không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Cùng tham khảo lý thuyết và bài tập Cực trị hàm trùng phương có giải chi tiết dưới đây nhé.

Lý thuyết và ví dụ Cực trị hàm trùng phương

Bài tập Cực trị hàm trùng phương có giải chi tiết

Bài tập

Giải chi tiết:

Link drive: https://drive.google.com/file/d/1tly3TZKAuluO_9bE8kskVfZeFRSwcILS/view?usp=sharing

Các bạn có thể tham khảo thêm:

Cực trị của hàm số và các dạng bài tham khảo

Chia sẻ về Cực trị hàm trùng phương ở trên sẽ giúp các em ôn tập Toán Hàm số THPT, ĐGNL thật tốt. Theo dõi MXH của Onthidgnl để update nhiều tài liệu miễn phí nhé:

FB: https://www.facebook.com/onthidgnlcom

Group: https://www.facebook.com/groups/2k7onthidgnl

Threads: https://www.threads.net/@onthidgnl2k7

Để hiểu rõ hơn về xác định cực trị theo đạo hàm cấp hai, trước tiên, chúng ta cần xem xét sự ảnh hưởng của đạo hàm đến hình dạng của đồ thị hàm số. Khi hàm số thay đổi chiều, việc kiểm tra giá trị của đạo hàm cấp hai tại các điểm giới hạn sẽ giúp chúng ta xác định được đâu là điểm cực trị. Qua đó, chúng ta không chỉ nhận diện được các điểm cực đại và cực tiểu mà còn phát triển khả năng phân tích sâu hơn trong môn toán học. Cùng tham khảo lý thuyết và bài tập có giải chi tiết dưới đây nhé!

Lý thuyết cực trị theo đạo hàm cấp hai

Định lý 2:

Giả sử hàm số y = f (x。) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x。– h ; x。+h) ; với h > 0. Khi đó:

– Nếu f ‘ (x。) = 0 ; f ” (x。) > 0 thì x。là điểm cực tiểu;

– Nếu f ‘ (x。) = 0 ; f ” (x。) < 0 thì x。là điểm cực đại;

Ví dụ Xác định cực trị theo đạo hàm cấp hai

Bài tập Xác định cực trị theo đạo hàm cấp hai có giải chi tiết

Bài tập

Giải chi tiết:

Lưu drive giải chi tiết: https://drive.google.com/file/d/1KY-_iCFRktI-spurbRVfnb7C_b5X7Pqq/view?usp=sharing

Các bạn có thể tham khảo thêm:

Cực trị của hàm số và các dạng bài tham khảo

Hy vọng với chia sẻ về Xác định cực trị theo đạo hàm cấp hai ở trên sẽ giúp các em ôn tập Toán THPT, ĐGNL thật tốt. Theo dõi MXH của Onthidgnl để update nhiều tài liệu miễn phí nhé:

FB: https://www.facebook.com/onthidgnlcom

Group: https://www.facebook.com/groups/2k7onthidgnl

Threads: https://www.threads.net/@onthidgnl2k7

Xác định Cực đại Cực tiểu của hàm số là một trong những khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong phân tích hàm số. Khi nghiên cứu về độ biến thiên của hàm số, việc xác định các điểm cực đại và cực tiểu giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số đó trên khoảng xác định. Cùng tham khảo lý thuyết và bài tập dưới đây là nắm chắc kiến thức phần hàm số; phục vụ học tập và ôn thi Toán THPT thật tốt nhé!

Lý thuyết Xác định Cực đại, cực tiểu của hàm số

Định nghĩa

– Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) ( có thể α là -∞ ; b là +∞) và điểm x。∈ (a;b).

+Nếu tồn tại số h>0 sao cho f (x) < f ( x。) với mọi x ∈ (x。– h ; x。+h) và x ≠ x。thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x。 .

+Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x) > f( x。) với mọi x ∈ (x。– h ; x。+h)  và x ≠ x。thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x。

– Ta có thể hiểu như sau:

+ Trên một khoảng liên tục ( a; b)  tồn tại giá trị x。trong khoảng ( a; b)  sao cho f( x。) ở vị trí thấp nhất ( dưới đáy ) ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x。

+ Trên một khoảng liên tục ( a; b)  tồn tại giá trị x。trong khoảng ( a; b)  sao cho f( x。) ở vị trí cao nhất ( trên đỉnh ) ta nói hàm số đạt cực đại tại x。

Khái niệm cần nhớ

– x。: Điểm cực trị của hàm số
– y。: Giá trị cực Đại (Tiểu) hoặc Cực Đại, Cực Tiểu của hàm số
– M ( x。;y。) : Điểm cực trị của ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Định lý quan trọng

Định lý 1:

Giả sử hàm số y = f (x。) liên tục trên khoảng (x。– h ; x。+h) ; và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x。}, với h > 0.

Nếu f ‘ (x) > 0 trên khoảng (x。– h ; x。) và f ‘ (x) < 0 trên khoảng (x。; x。+h) thì x。là một điểm cực đại của hàm số f (x)

Nếu f ‘ (x) < 0 trên khoảng (x。– h ; x。) và f ‘ (x) > 0 trên khoảng (x。; x。+h) thì x。là một điểm cực tiểu của hàm số f (x)

Định lý 2:

Giả sử hàm số y = f (x。) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x。– h ; x。+h) ; với h > 0. Khi đó:

– Nếu f ‘ (x。) = 0 ; f ” (x。) > 0 thì x。là điểm cực tiểu;

– Nếu f ‘ (x。) = 0 ; f ” (x。) < 0 thì x。là điểm cực đại;

Ví dụ Xác định Cực đại, cực tiểu của hàm số

Bài tập Xác định Cực đại, cực tiểu của hàm số có giải chi tiết

File PDF bài tập:

https://drive.google.com/file/d/1iHwBbzTmeiyRnIgakXxBo70pxih2gU7B/view?usp=sharing

File PDF giải chi tiết:

https://drive.google.com/file/d/1qG3pFifWKmkgfnx9Mma_biKsk0tn4iSa/view?usp=sharing

Các bạn có thể tham khảo thêm:

Cực trị của hàm số và các dạng bài tham khảo

Hy vọng với những chia sẻ về Lý thuyết và Bài tập Xác định Cực đại, cực tiểu của hàm số ở trên sẽ giúp các em ôn tập Toán THPT, ĐGNL thật tốt. Theo dõi MXH của Onthidgnl để update nhiều tài liệu miễn phí nhé:

FB: https://www.facebook.com/onthidgnlcom

Group: https://www.facebook.com/groups/2k7onthidgnl

Threads: https://www.threads.net/@onthidgnl2k7