Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ điểm này sang điểm kia.
Một số hàm cực trị cơ bản như: cực trị hàm bậc 3, bậc 4, hàm Logarit hay hàm số lượng giác. Đây là phần kiến thức Đại số quan trọng và cần nắm vững để ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán, cũng như ôn thi đánh giá năng lực.
Dưới đây là chia sẻ của Onthidgnl để các bạn có thể nắm được những khái niệm này, từ đó giúp ôn tập và thi cử đạt hiệu quả.
Mục lục
Cực trị hàm số là gì?
Cho hàm số y = f(x) liên tục tại khoảng (a;b) và xét điểm x0 ∈ (a; b)
– Nếu tồn tại số h > 0 thỏa mãn điều khiện f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
– Nếu tồn tại số h > 0 thỏa mãn điều kiện f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .
Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K: (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K ∖{ x0 }.
– Nếu {f′(x)>0∣∀(x0−h;x0)f′(x)<0∣∀(x0;x0+h) thì ta có x0 là điểm cực đại của hàm số.
– Nếu {f′(x)>0∣∀(x0−h;x0)f′(x)<0∣∀(x0;x0+h) thì ta có x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Định lý 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 – h; x0 + h) (h > 0).
Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) > 0 thì ta có x0 là điểm cực tiểu của hàm số f.
Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) < 0 thì ta có x0 là điểm cực đại của hàm số f.
Xét cực trị của hàm bậc 3, bậc 4
a. Với cực trị của hàm bậc 3
Cho hàm số có dạng: y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (điều kiện: a≠0)
Đạo hàm của hàm số: y′=f′(x)=3ax^2+2bx+c
Điều kiện để hàm y = f(x) tồn tại cực trị khi y = f(x) có cực đại và cực tiểu.
=> f’(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt Δ‘=b2−3ac>0
b. Với cực trị của hàm bậc 4 (hay còn gọi hàm trùng phương)
Cho hàm số: y = f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e (điều kiện: a≠0)
Đạo hàm: y′ = f′(x) = 4ax^3+3bx^2+2cx+d
Xác định cực trị của hàm bậc 4
Xét f’(x)=0 => Có 3 trường hợp xảy ra:
– TH1: Phương trình f’(x)=0 đúng 1 nghiệm => hàm số có đúng 1 cực trị.
– TH2: Phương trình f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt => có 3 cực trị gồm cực đại và cực tiểu.
– TH3: Phương trình f’(x)=0 có đúng 2 nghiệm phân biệt: 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép => có đúng 1 cực trị.
Cực trị của hàm số lượng giác
Các bước để tìm cực trị của hàm số lượng giác bao gồm:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Xác định đạo hàm y’ = f’(x) => giải phương trình f'(x) = y’=0, giả sử có nghiệm tại x0.
Bước 3: Khi đó: Tìm đạo hàm bậc 2 của f(x): f”(x) = y’’.
Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 2.
Cực trị của hàm số logarit
Các bước tìm cực trị của hàm số Logarit bao gồm có:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x), rồi giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm tại x=x0.
Bước 3: Xét hai khả năng:
Trường hợp 1: Nếu xét được dấu của y’ => lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 2.
Trường hợp 2: Nếu không xét được dấu của y’, khi đó:
Tìm đạo hàm y’’.
Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận
Cực trị hàm Logarit xuất hiện tương đối nhiều trong các bài thi tốt nghiệp THPT quốc gia các năm vừa qua nên có thể nói đây là phần kiến thức các bạn thực sự cần chú ý tới.
Bài tập cực trị hàm số
Sau đây là bài tập về cực trị hàm số kèm lời giải, các bản cùng tải về và tham khảo nhé!.
>> Sổ tay kiến thức hack điểm môn Toán, Mẹo tính nhanh Casio THPT Quốc Gia <<
Trên đây là kiến thức cơ bản nhất về cực trị hàm số và bài tập có lời giải để các bạn có cái nhìn tổng quan nhất và nắm vững kiến thức; từ đó có thể dễ dàng đưa ra phương án giải quyết các bài tập trên lớp và thi cử.
Onthidgnl Chúc các bạn học tập và ôn thi tốt cho kì thi đại học, kì thi tốt nghiệp THPT hay thi đánh giá năng lực sắp tới nhé.