Cực trị của hàm số và các dạng bài tham khảo

Onthidgnl đã tổng hợp các kiến thức cũng như bài tập về Cực trị của hàm số để các em ôn thi tốt nghiệp THPT, đại học, đánh giá năng lực… các em nắm chắc kiến thức để học tập, ôn thi hiệu quả nhất nhé!

Mẹo tìm kiếm: "Từ khóa tìm kiếm + Onthidgnl.com".
Lưu ý! Kéo xuống cuối trang để tải File PDF (nếu có) nhé!

Nội dung[ẩn]

Tóm tắt lý thuyết Cực trị của hàm số
Định nghĩa
Điều kiện cần để hàm số có Cực trị
Điều kiện đủ để hàm số có Cực trị
Bài tập cực trị hàm số
Dạng 1: Cực trị của một hàm số cho bởi một công thức và các câu hỏi liên quan
Dạng 2: Cực trị f(x), f(u),… biết các đồ thị không tham số
Dạng 3: Cực trị f(x), f(u),… biết các BBT,BXD không tham số
Dạng 4: Cực trị f(x),f(u),…liên quan biểu thức đạo hàm không tham số
Dạng 5: Cực trị của hs chứa dấu GTTĐ, hs cho bởi nhiều công thức khi biết đồ thị, BBT
Dạng 6: Tìm tham số để f(x) đạt cực trị tại 1 điểm x0 cho trước
Dạng 7: Tìm tham số liên quan đến cực trị của hàm đa thức bậc 3 thỏa mãn
Dạng 8: Tìm tham số liên quan đến cực trị của hàm đa thức bậc 4 trùng phương thỏa mãn ĐK (Không GTTĐ)
Dạng 9: Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)), hàm liên kết…có tham số
Dạng 10: Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)),hàm liên kết…có tham số

Tóm tắt lý thuyết Cực trị của hàm số

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên lân cận V của x_o

* Nếu f(x) < f(x_o) với mọi x thuộc V{x_o} thì ta nói: f đạt cực đại tại x_o

Khi đó :

x_o : là điểm cực đại của hàm số.

f(x_o) : là giá trị cực đại của hàm số. Kí hiệu f_CĐ .
M(x_o;f(x₀)) : là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

* Nếu f(x) > f(x_o) với mọi x thuộc V{x_o} thì ta nói: f đạt cực tiểu tại x_o

Khi đó :

x_o : là điểm cực tiểu của hàm số.
f(x_o) : là giá trị cực tiểu của hàm số. Kí hiệu f_CT .
M(x_o;f(x₀)) : là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

* f đạt cực đại hay cực tiểu tại x_o, ta nói f có cực trị tại x_o

Khi đó :

x_o : là điểm cực trị của hàm số.
f(x_o) : là giá trị cực trị của hàm số.
M(x_o;f(x₀)) : là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

**Một hàm số có thể có 1 hay nhiều điểm cực trị, cũng có thể là không có điểm cực trị nào.

cuc tri ham so

Điều kiện cần để hàm số có Cực trị

Định lý Fecmat:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b)

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x_o thuộc (a;b) và đạt cực trị tại x_o thì f'(x_o) = 0

Ý nghĩa hình học của định lý:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b)

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x_o thuộc (a;b) và đạt cực trị tại x_o thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực trị sẽ cùng phương với trục Ox

**Lưu ý: Nếu ta có f'(x_o) = 0 thỉ ta không thể kết luận hàm f có đạt cực trị tại x_o hay không.

Ví dụ: y = x³ có MXĐ = R

y’ = 3x² => y’ = 0 khi và chỉ khi x = 0

x > 0 : f(x) > f(0)
x < 0 : f(x) < f(0)

=> f không có cực trị tại x = 0

Điều kiện đủ để hàm số có Cực trị

Quy tắc 1:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong lân cận V của x_o

*Nếu f(x) đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua x_o thì f đạt cực đại tại x_o

*Nếu f(x) đổi dấu từ (-) sang (+) khi x đi qua x_o thì f đạt cực tiểu tại x_o

*Nếu f(x) đổi dấu khi x đi qua x_o thì f đạt cực trị tại x_o

Lưu ý:: Dấu hiệu trên vẫn đúng nếu f không có đạo hàm tại x_o mà chỉ cần f liên tục tại x_o

Vậy:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên V(x_o) và liên tục trên V(x_o) (có thể không có đạo hàm tại x_o)

f đạt cực trị $Leftrightarrow$ f'(x) đổi dấu khi x đi qua x_o

Nhận xét :

– Điểm cực trị là điểm tới hạn của hàm số.

– Điểm tới hạn của hàm số có thể không là điểm cực trị của hàm số.

Quy tắc 2:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2, liên tục trên V(x_o) và f'(x_o) = 0

*Nếu f”(x) < 0 thì x_o là điểm cực đại.

*Nếu f”(x) > 0 thì x_o là điểm cực tiểu.

Bài tập cực trị hàm số

Dạng 1: Cực trị của một hàm số cho bởi một công thức và các câu hỏi liên quan

Dạng 2: Cực trị f(x), f(u),… biết các đồ thị không tham số

Cực trị f(x), f(u),... biết các đồ thị không tham số

Dạng 3: Cực trị f(x), f(u),… biết các BBT,BXD không tham số

Cực trị f(x), f(u),... biết các BBT,BXD không tham số

Dạng 4: Cực trị f(x),f(u),…liên quan biểu thức đạo hàm không tham số

Cực trị f(x),f(u),...liên quan biểu thức đạo hàm không tham số

Dạng 5: Cực trị của hs chứa dấu GTTĐ, hs cho bởi nhiều công thức khi biết đồ thị, BBT

Cực trị của hs chứa dấu GTTĐ, hs cho bởi nhiều công thức khi biết đồ thị, BBT

Dạng 6: Tìm tham số để f(x) đạt cực trị tại 1 điểm x0 cho trước

Tìm tham số để f(x) đạt cực trị tại 1 điểm x0 cho trước

Dạng 7: Tìm tham số liên quan đến cực trị của hàm đa thức bậc 3 thỏa mãn

Tìm tham số liên quan đến cực trị của hàm đa thức bậc 3 thỏa mãn

Dạng 8: Tìm tham số liên quan đến cực trị của hàm đa thức bậc 4 trùng phương thỏa mãn ĐK (Không GTTĐ)

Tìm tham số liên quan đến cực trị của hàm đa thức bậc 4 trùng phương thỏa mãn ĐK

Dạng 9: Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)), hàm liên kết…có tham số

Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)), hàm liên kết...có tham số

Dạng 10: Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)),hàm liên kết…có tham số

Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)),hàm liên kết...có tham số

Hy vọng những công thức toán 12 về cực trị hàm số trên sẽ giúp nhiều cho các em trong kỳ thi đại học sắp tới nhé! Chúc các em đạt điểm cao!

Tải file Cực trị của hàm số PDF tại đây

https://drive.google.com/file/d/1R3Rc0ChEXQBepQkpj5JKne36BvNRFMDh/view?usp=sharing

Theo dõi MXH của Onthidgnl để update nhiều tài liệu miễn phí nhé:

FB: https://www.facebook.com/onthidgnlcom

Group: https://www.facebook.com/groups/2k7onthidgnl

Threads: https://www.threads.net/@onthidgnl2k7

Cực trị của hàm số và các dạng bài tham khảo